Giriş
Bu bölümde iki anakütle olması halinde ilgilenilen parametre farklarına ilişkin hipotez testlerinden ve küçük örnek testlerinden söz edilecektir.
14.1. Ortalamalar Arası Farklara İlişkin Testler
Eğer iki anakütleye ilişkin hipotezler test edilecekse hipotezler şu şekilde olacaktır:
Çift taraflı hipotez iki anakütle ortalamalarının eşitliği iddiası
Tek taraflı hipotez testleri
Kullanılacak test istatistiği de aşağıdaki gibidir.
Örnek hacimlerinin toplanı n1+n2< 30 ise
Örnek:
Konya ve İstanbul’da yaşayan 300’er ev hanımı ile görüşülerek haftalık mutfak harcamaları soruluyor. Konya’da yaşayan ev hanımlarının aylık mutfak harcamalarının ortalamasını 600 ytl ve sapması da 100 ytl olarak hesaplanmıştır. İstanbul’da yaşayan ev hanımlarının aylık ortalama mutfak harcamalarının 700ytl ve standart sapmaları da 150 ytl olarak hesaplanmıştır. Konya ve İstanbul’da yaşayan ev hanımlarının ortalama mutfak harcamaları arasında fark var mıdır? (0.01 anlamlılık düzeyi)
Çift yönlü hipotez testi anlamlalık düzeyinin 0.01 olmasından ötürü sağ ve sol kısımdaki ret alanları 0.005 olacaktır. 0.5-0.005 değerine karşılık gelen tablo değeri 2.58 olacaktır. Eğer alternatif hipotez tek yönlü olsaydı tablo değeri 2.33 olacaktı. Aşağıdaki gösterim, standart normal dağılım tablosundan değerleri bularak değerlendirmekte yardımcı olacaktır.
Hesaplanan z değeri tablo değerinden büyüktür, sıfır hipotezi reddedilir. 10>2.58
İstanbul ve Konya’da ailelerin aylık mutfak harcamaları farklıdır.
14.2. Oranlararası Farklara İlişkin Hipotez Testleri
İki farklı anakütleden n1 ve n2 büyüklüğünde çekilen örneklemlerin oranları sırasıyla p1 ve p2 olsun. Belirlenen anlamlılık düzeyinde söz konusu örneklemlerin aynı anakütleden gelip gelmediğinin araştırılmasında yine hipotez testlerine başvurulur.
Alternatif hipotezin yönüne göre üç farklı durum söz konusudur.
Test istatistiği ise şu şekilde hesaplanır:
Örnek: Bir işletmede çalışan kadın ve erkeklerin sigara içme oranlarını değerlendirmek için 60 erkekle ve 40 kadın ile görüşülüyor. Görüşme sonucunda 51 erkek ve 20 kadın sigara kullandığı bilgisine ulaşılıyor. Erkeklerin sigara içme oranının kadınlardan sigara içme oranından yüksek olduğu söylenebilir mi? (%5 önem düzeyinde değerlendiriniz)
%5 anlamlılık düzeyinde tek taraflı hipotez testi için tablo değeri Ztab= 1.65 olacaktır.
Sıfır hipotezi reddedilir. Erkeklerin sigara içme oranı kadınlarınkinden fazladır.
Örnek: Ampül üreten iki firmanın ürettikleri ampüllerin ortalama dayanma süresi araştırılmak isteniliyor. A fabrikasından seçilen 80 ampülün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15 gün; B fabrikasında seçilen 90 ampülün ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 anlamlılık düzeyinde A fabrikasında üretilen ampüllerin daha dayanıklı olduğu söylenilebilir mi?
Tablo değeri hesap değerinden büyüktür sıfır hipotezi kabul edilir. Ampüllerin dayanıklılık süreleri arasında fark yoktur.
Küçük Örneklerle çalışılması halinde z yerine t testi kullanılmalıdır.
t Dağılımı
• Küçük örneklerden (n<30) elde edilen istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına uyar.
• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal eğri gibi simetriktir.Normal eğriye göre daha basık ve yaygın bir şekil alır. Böylece eğrinin kuyruklarında daha büyük bir alan oluşur.
• Küçük örnekler için z cetveli yerine, çeşitli örnek büyüklükleri ve olasılık seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.
Ortalamalarla ilgili hipotez testinde n<30 iken t dağılımı kullanılmalıdır.
Örnek:
Bir markette satılan margarinlerin paketlerinin üzerinde 455 gr yazmaktadır. Rastgele seçilen 17 paketin ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. %5 anlamlılık düzeyinde paket ağırlığının 455 gr olduğu iddiası kabul edilebilir mi?
Tablodan kritik değer bulunurken n-1 serbestlik derecesi dikkate alınmalıdır. 16 serbestlik derecesiyle 0.05 anlamlılık düzeyinde t tablo değeri 2.12’dir.
Hesaplanan t istatistiği tablo değerinden küçüktür. Sıfır hipotezi kabul edilir, yani paketlerin ağırlığının 455 gr. olduğu iddiası geçerlidir.
Örnek:
A üniversitesi, İktisat Bölümü öğrencilerinin istatistik dersi ortalama başarısı 2010 yılında 65 puandır. 2011 yılında mezun olan 26 öğrenci restgele seçilmiş ve ortalama başarı puanlarının 70, standart sapmasının 10 puan olduğu hesaplanmıştır. Buna göre öğrencilerin başarıları arasında her iki dönem dikkatte alındığında fark var mıdır %1 anlamlılık düzeyinde test edin.
26-1=25 serbestlik derecesi %1 anlam düzeyinde t tablo değeri 2.787 ‘dir.
Hesaplanan t istatistği tablo değerinden küçüktür. 2010 ve 2011 yıllarındaki ortalama başarı oranları arasında anlamlı bir fark yoktur.
Örnek: Uyumadan önce diş ipi kullananların oranın %30 olduğu iddia edilmektedir. Rastgele seçilen 100 kişiden 28’i diş ipi kullandığını söylemiştir. Buna göre söz konusu iddiayı %1 anlamlılık düzeyinde sınayınız.
İddia kabul edilir.
Örnek: Bir bölgede yaşayan dört kişilik ailelerin aylık mutfak harcamalarının en az 700 tl olduğu iddia edilmektedir. Rastgele seçilen 6 ailenin harcamalarının şöyle olduğu belirlenmiştir. 620, 920, 750, 680, 830, 950. Buna göre 0.05 önem düzeyinde iddia kabul edilebilir mi?
5 s.d. t tablo değeri 2.01 olduğundan iddia kabul edilemez
Örnek:Yurtta kalan üniversite öğrencilerinin aylık harcamalarının en az 1200 tl olduğu iddiasını sınamak amacıyla yurtta kalan öğrencilerden rassal olarak 10 kişi seçiliyor. Elde edilen kayıtlara göre öğrencilerin aylık harcamaları şöyledir: 1390, 1340, 1240, 1080,1590,1630,1150,1380,1060, 1240. Buna göre 0.01 önem düzeyinde iddia doğrulanır mı?
Tek taraflı tablo değeri 2.82 olduğundan 1200’den fazla olduğunu söylemek için yeterli kanıt yoktur.
Örnek: Bir eğitim programının işletme ve iktisat bölümü öğrencileri üzerindeki etkisini değerlendirmek amacıyla rastgele seçilen 100 işletme öğrencisinin notlarının ortalaması 53 ve varyansı 9 olarak hesaplanmıştır. Benzer şekilde seçilen 50 iktisat öğrencisinin notlarının ortalaması 55 ve varyansı 25 olarak bulunmuştur. %1 önem düzeyinde iktisat öğrencilerinin daha başarılı olduğu söylenebilir mi?
Kritik tablo değeri 2.33<3 olduğu için iktisat öğrencilerinin daha başarılı olduğu söylenebilir, sıfır hipotezi reddedilir.
Bölüm Özeti
Bu bölümde iki anakütle olması halinde anakütle parametre farklarına ilişkin iddialer test edildi. Yanı sıra küçük örnekler de gözden geçirildi.
Comments