9.1. Momentler
Moment, bir rastlantı değişkeninin sıfıra göre veya ortalamaya göre çeşitli kuvvetlerinin beklenen değeridir.
Sıfıra göre demek, sıfırdan sapmaların kuvvetlerinin beklenen değeri demektir. Ortalamaya göre moment ise, ortalamadan sapmaların kuvvetlerinin ortalamalarıdır.
9.1.1. Sıfıra Göre Momentler (basit moment)
Sıfıra göre 1. Moment aritmetik ortalamaya eşittir.
Sıfıra göre 2. Moment, kareli ortalamanın karesine eşittir.
Sıfıra göre 3. Moment aşağıdaki gibi hesaplanır:
Sıfıra göre 4. Moment aşağıdaki gibi hesaplanır:
9.1.2. Ortalamaya Göre Momentler
Basit seride ortalamaya göre 1. Moment sıfıra eşittir.
Ortalamaya göre 2. Moment varyansı verir.
Ortalamaya göre 3. Moment aşağıdaki gibidir:
Ortalamaya göre 4. Moment aşağıdaki gibidir:
Momentler temel olarak şunu ölçerler:
1. momentler; merkezi konum ölçüsü (ortalama)
2. momentler; varyans
3. momentler; çarpıklık
4. momentler; basıklık.
9.2. Momentler Yoluyla Çarpıklık Ölçümü
Çarpıklık ve basıklık ölçüleri bir dizideki gözlem değerlerinin saçılımının (dağılımının) şeklini ortaya koyarlar. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılımın özellikleri referans alınır. Çünkü Normal dağılım eğrisi tam simetrik ve normal (ideal) bir basıklığa sahiptir. Çarpıklık ölçüsü serinin frekans (sıklık) dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü gözlemlerin normal dağılım eğrisinin ne kadar altında ya da üstünde dağılıma sahip olduğunu gösteren ölçülerdir.
Momentler yoluyla çarpıklık ve basıklık aşağıdaki gibi hesaplanır. Çarpıklık katsayısı 
’tür.
ise sola çarpık
Veya
Burada s, standart sapmadır. Şayet;
ise simetrik. Simetrik dağılım gösteren serilerde merkezi eğilim ölçüleri, dağılımın tam ortasında yer alır. Gözlemlerin %50 ‘si merkezi eğilim ölçüsünden büyük, diğer yarısı ise küçüktür.
ise sağa çarpıktır.
α3 < 0 ise sola çarpıktır.
9.3. Momentler Yoluyla Basıklık Ölçümü
Basıklık katsayısı 
’tür.
ise normalden basık
ise normal basıklıkta veya sivrilikte (ideal sivrilik, mesela normal dağılımın basıklığı 3’tür)
ise normalden sivri
Örnek: Aşağıdaki serinin sıfıra göre ve ortalamaya göre momentlerini hesaplayınız. Çarpıklık ve basıklığını araştırınız.[18]
Basit momentler (yani sıfıra göre momentler) aşağıdaki gibidir:
Ortalamaya göre momentler aşağıdaki gibidir:
sağa çarpık seri
normalden basıktır
Örnek: Aşağıdaki serinin sıfıra göre ve ortalamaya göre momentlerini hesaplayınız. Çarpıklık ve basıklığını araştırınız.[19]
Sıfıra göre momentler aşağıdaki gibidir:
Ortalamaya göre momentler aşağıdaki gibidir:
sağa çarpık
Normalden basık bir seri
Örnek: Aşağıdaki serinin sıfıra göre ve ortalamaya göre momentlerini hesaplayınız. Çarpıklık ve basıklığını araştırınız.[20]
Sıfıra göre momentler aşağıdaki gibidir:
Ortalamaya göre momentler aşağıdaki gibidir:
Seri, normalden sivri ve sola çarpık bir dağılıma sahiptir.
’nin sağlaması:
Örnek: Aşağıdaki gruplandırılmış serinin Pearson çarpıklık katsayısını moda dayalı olarak hesaplayıp yorumlayınız.
Çözüm: Serinin modu şöyle hesaplanır;
Mod = L+ 
* 2 = 6.33
Moda dayalı Pearson çarpıklık ölçütü;
Çarpıklık = 
= 
= -0.28
Yorum: Seri hafif bir biçimde sola çarpıktır.
9.4. König Teoremi
König teoremi, basit momentlerden ortalamaya göre momentlere geçişi sağlar. İki moment türü arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi açıklamaktadır:
Comments