8. STANDART DEĞİŞKEN, ASİMETRİ İNCELEMELERİ, TOPLANMA ORANI

8.1. Standart Değişken

Standart değişken z ile gösterilir.

Kitlede;

Örneklemde;

X_i : her hangi bir gözlem değeri

μ:kitlenin aritmetik ortalaması

σ: kitlenin standart sapması

: örneklemin aritmetik ortalaması

s: örneklemin standart sapması

z bize, X_i’nin ortalamadan kaç standart sapma uzaklaştığını gösterir.

z=0 ise = μ

z>0 ise > μ

z<0 ise < μ

Mesela z=2 bulmak, X_i’nin ortalamadan büyük olduğunu ve ortalamadan 2 σ uzakta olduğunu gösterir.

Şekil. 8.1. Verilerin Normal Eğri Altındaki Dağılımları

Verinin yaklaşık %68’i,  yani z=-1 ile z=1 arasında yer alır. %95’i  yani z=-2 ile z=2 arasında yer alır. %99’u ise  yani z=-3 ie z=3 arasında yer alır.

Örnek: Yabancı uyruklu bir işçi etnik ayrımcılık yapıldığından ötürü kendisinin aynı işi yapmakta olduğu diğer çalışanlardan daha düşük gelir elde ettiğini düşünmektedir. Bu iddiasını test etmek amacıyla bilgi toplamış, kendisiyle aynı işi yapan diğer çalışanların yıllık ortalama gelirlerinin 40000 tl ve s=4000 tl olarak hesaplamıştır. Kendisinin yıllık ortalama geliri 36000 tl olduğuna göre, sizce iddiasında haklı mıdır?

z =  = -1

Ortalamadan σ kadar daha aşağıda bir gelir elde etmektedir. İddiasında haklıdır.

Şimdi artık öğrendiğimiz duyarlı, duyarsız ortalamalar ve standart sapmayı kullanarak serinin asimetrisi (çarpıklığı) yani verilerin yığılma yönlerini bulmayı ve bu yığılmanın miktarını ölçmeye geçebiliriz.

8.2. Pearson Çarpıklık Katsayısı

P=0 ise seri simetrik bir dağılıma sahiptir. Çarpıklık sıfırdır. Formüle bakarsanız P’nin sıfır olması, ortalama ve medyanon birbirine eşit olmasına bağlıdır. Bu iki değer eşit olduğunda biliyoruz ki seri simetriktir.

Şekil.8.2. Simetrik Seri

P>0 ise sağa çarpıktır. P’nin pozitif olması ortalamanın medyandan büyük olması yani medyanın sağında olması demektir. O halde mod (seride en yüksek sıklığa sahip değer, serinin yığılma yaptığı değer) medyanın solunda yer alır, bu durumda pozitif asimetri söz konusudur, yani seri sağa çarpıktır.

Şekil.8.3. Sağa Çarpık Seri

P<0 ise sola çarpıktır. P’nin negatif olması ortalamanın medyandan küçük olması yani medyanın solunda olması demektir. O halde mod (seride en yüksek sıklığa sahip değer, serinin yığılma yaptığı değer) medyanın sağında yer alır, bu durumda negatif asimetri söz konusudur, yani seri sola çarpıktır.

Seri.8.4. Sola Çarpık Seri

Örnek:=100, σ=4, medyan=103 ise Pearson çarpıklık ölçütünü hesaplayarak serinin asimetrisi hakkında yorum yapınız.

P=  = -2.25 > 0 , sağa çarpık seri

8.3. Bowley Çarpıklık Katsayısı

Bowley asimetri ölçütü, kartilleri kullanarak ölçüm yapar. Formülü şöyledir:

B=0 ise seri simetriktir, B>0 ise sağa çarpık, B<0 ise sola çarpıktır.

Örnek:

Q₁=90

Q₂=medyan=120

Q₃=125 ise Bowley çarpıklık katsayısını hesaplayarak serinin asimetrisi hakkında yorum yapınız.

B =  = -0.714 < 0 , sola çarpık seri.

8.4. Toplanma Oranı (Gini Katsayısı)

Toplanma oranı ölçü birimine sahip değildir. ’dir. Yukarıdaki şekle bakınız, burada 45⁰ lik doğrunun hemen altındaki eğri ile arasında kalan mor renkli alanın, OAB ikizkenar üçgeninin alanına oranı bize toplanma oranını vermektedir. Toplanma oranı neticede bir alan olduğundan, daima pozitif değer almaktadır. Negatif değer alamaz!!!

TO’nun sıfıra yakın çıkması yani 45⁰ lik doğru ile alttaki eğrinin arasındaki alanın küçülmesi adil bölüşümü gösterir.

Şekil. 8.5. Toplanma Oranı (Gini Katsayısı)

P_i: ilgili sınıfın birikimli sıklığı/

q_i: ilgili sınıfın birikimli f_iX_i değeri/

1’e yakın çıkması ise söz konusu alanın giderek büyümesi, 45⁰ lik tam eşitlik doğrusundan uzaklaşıldığını ve adaletsiz bir bölüşüm olduğunu gösterir. OAB eğrisi tam adaletsiz bölüşümü simgeler. Tam eşit bölüşümde OB doğrusu ile eğri çakışıktır, yani aradaki alan sıfırdır.

Küreselleşen ekonomide, Türkiye’nin de içinde olduğu gelişmekte olan ekonomilerde (emerging markets) gelir dağılımının adaletsiz olduğu bilinmektedir. Birleşmiş Milletlerin 2006 yılında yayınladığı Gelir Dağılımı Eşitsizliği Raporun’a göre, araştırmaya konu 122 ülkenin Gini katsayıları ortalaması 0.40 olarak gerçekleşirken, Türkiye’nin gini katsayısı dünya ortalamasının üzerinde kalarak 0.42 seviyesinde olduğu belirtilmektedir. Türkiye’deki gelir dağılımı, dünyanın diğer 45 ülkesinden daha adil, 76 ülkesinden daha adaletsiz olduğu görülmektedir.

En Adaletsiz Gelir Dağılımına Sahip On Ülke(Gini Katsayıları En Büyük Olan On Ülke)

Dünyanın en fakir %20′lik kesimin dünyadaki gelirin ortalama olarak %6,3′ünü aldığı görülmektedir. Aynı verilere göre Türkiye’de en fakir %20′lik kesimin gelirden aldıkları payların ortalaması %5,8 olarak gerçekleşmiştir. Dolayısıyla, Türkiye’nin en fakir %20’sinin gelirden aldığı pay, dünya ortalaması olan %6,3′ten düşük olduğu görülmektedir.

En Adil Gelir Dağılımına Sahip On Ülke (Gini Katsayıları En Düşük Olan On Ülke)

Ve Türkiye 76. Sırada, Gini katsayısı %42’dir. Dünyanın 122 ülkesinde en zengin %20′lik dilimlerin gelirden aldıkları payların ortalaması %46,7 düzeyinde gerçekleşmiştir. Aynı verilere göre Türkiye’de en zengin %20′lik dilimlerin gelirden aldıkları payların ortalaması yüzde %47,7 olduğu görülmektedir. Türkiye’nin en zengin %20’sinin gelirden aldığı pay, dünya ortalaması olan %46,7′den yüksek olarak gerçekleşmiştir. Dolayısıyla Türkiye’de gelir dağılımı adaletsizliği, dünya ortalama gelir dağılımı adaletsizliğinden yüksek olduğu görülmektedir.