11.1. Çekilişlerle İlgili Bağımlılık Ve Bağımsızlık Kavramları
Çekilişler iadeli ise denemeler bağımsızdır, iadesiz ise bağımlıdır. Top çekme deneyinde çekilen toplar yerine iade edildiğinde her çekiliş sanki ilk çekilişmiş gibi olur yani olasılıklar değişmez, eğer çekilen top yerine konmazsa her defasında top eksileceği için her çekilişte olasılıklar değişir yani olaylar bağımlı hale gelirler.
Örnek: Bir torbada 10 tane top olsun. 3 mavi, 4 turuncu, 3 kırmızı renkte olsunlar. Peş peşe 3 top çekilsin. Bu topların iadeli ve iadesiz durumları ayrı ayrı ele alarak, MTK renkte olması ihtimallerini hesaplayınız.
Çözüm: Önce iadeli durumu ele alalım. İlk topun mavi olması ihtimali 3/10’dur. İkincinin turuncu olması 4/10, üçüncünün kırmızı olması 3/10’dur. Yani sorulan olasılık şöyle bulunur:
36/1000= 0.036
İadesiz durumda,
0.05
Uyarı!!! Burada olasılıkları neden toplamıyoruz da çarpıyoruz sizce? Bunun sebebi, olayın ancak peş peşe 3 top çektikten sonra tamamlanmasıdır. Tıpkı bir şehirden bir başka şehre aktarmalı olarak giderken kullanabileceğimiz ulaşım araçları sayısını çarpmamız gibi. Toplama yapmak için olayların her basamağının birbirinden ayrı ve tamamlanmış olması yani ayrık olması gerekir.
11.2. Olasılığın Klasik ve Frekans Tanımı
11.2.1. Klasik yaklaşım
Bir örneklem uzayında n tane mümkün sonuç olsun. A olayı S örneklem uzayının bir alt kümesi olmak üzere, A’nın k tane elemanı olsun. Bu durumda klasik yaklaşıma göre P(A)=k/n’dir.
11.2.2. Frekans yaklaşımı
Bir paranın Yazı gelme olasılığı bilindiği üzere %50’dir. Ancak, diyelim ki bir parayı 10 defa atsak 5 defa Yazı 5 defa Tura gelecek diye bir zorunluluk yoktur. Onu da yazı veya dokuzu tura biri yazı, vb. çok farklı sayıda örneklemler ortaya çıkabilir. Fakat, deneme sayısı arttığında yani 500 defa, 1000 defa, 10000 defa atış yapılsa, olasılık bir noktadan sonra stabil hale gelir ve bu noktada olasılık, klasik yaklaşımın öngördüğü 0.5’tir. Bu durum aşağıdaki şekilde anlatılmak istenmiştir:
Şekil.11.1. Olasılığın Klasik ve Frekans Yaklaşımı
Bu örneklemde P(Yazı)=7/10, P(Tura)=3/10’dur.
***Bir başka örneklem şöyle olsun:
Bu örneklemde P(Yazı)=8/10, P(Tura)=2/10’dur.
Bu örneklemde P(Yazı)=1/10, P(Tura)=9/10’dur.
n=1000 defa olsun,
Örneğin P(Yazı)=468/1000, P(Tura)=532/1000’dir.
Halen klasik yaklaşımın öngördüğü olasılığa ulaşılamadığına göre, deneme sayısı daha da arttırılmalıdır.
Söz gelimi n=5000 olsa, P(Yazı)=2500/5000, P(Tura)=2500/5000 olacaktır. (Tabii kesin bir durum değil, belki de olasılığın stabil (durağan) hale gelmesi 10000 defa deneme gerektirebilir)
Bazen de, bir olayın mümkün sonuçları eşit olasılığa sahip olmayabilir. Mesela atılan zar hileli ise ve çoğunlukla “2” geliyorsa, bu durumda zarın üst yüzüne gelen sayıların olasılıklarını belirlemek için çok sayıda deneme yapmak gerekir. Örneğin hileli bir para düşünelim, bu durumda P(Y)=P(T)=0.5 olması beklenemez. İşte böyle durumlarda;
P(A)=(n denemede A’nın ortaya çıkma sayısı)/n ‘dir.
Örnek: Hileli bir para 1000 kez atılıyor. Sonuçlar kaydediliyor. 320 defa Tura, 680 defa Yazı geliyor. Bu durumda P(Yazı)=0.68, P(Tura)=0.32’dir.
Örnek: Bir paranın 3 kez atılması deneyinde B olayı; en az bir kez Tura gelmesi olsun. P(B)=?
n(S)=2^3=8 olası sonuç vardır.
P(B)=7/8’dir. Çünkü bahsedilen durumu sağlayan 7 sonuç vardır.
C olayı en fazla 2 Yazı gelme olayı ise P(C)=?
Yani 0,1 ya da 2 yazı gelmesi demektir.
P(C)=7/8’dir.
11.3. Koşullu Olasılık
Yukarıdaki koşullu olasılığın sözel ifadesi şudur; B olayının gerçekleştiği biliniyorken, A olayının meydana gelme olasılığı. Sağ tarafta kalan olay, koşulu yaratan olaydır. Şayet A ile B olayları bağımsız iseler bu defa koşullu olasılık;
olur,
P(B)’ler birbirini götürür ve; 
olur.
Örnek:
A ve B iki tedavi yöntemidir. Tedavilerin kilolarına göre tasnif edilmiş insanlardaki başarı olasılıkları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:
| Zayıf | Normal | Kilolu | Obez | Toplam | |
| A | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,05 | 0,35 |
| B | 0,05 | 0,20 | 0,25 | 0,15 | 0,65 |
| Toplam | 0,10 | 0,30 | 0,40 | 0,20 | 1,00 |
a) A yöntemiyle başarı olasılığı nedir?
P(A)=0,35
b) B yöntemiyle başarı olasılığı nedir?
P(B)=0,65
c) Seçilen bir kişinin kilolu olduğu biliniyorken, A yöntemiyle tedavi olma olasılığı nedir?
P(A/kilolu)= P(A∩kilolu)/P(kilolu)= 0.15/0.4=0.375
d) Seçilen bir kişinin zayıf olduğu biliniyorken B yöntemiyle tedavi olma olasılığı nedir?
P(B/zayıf)= P(B∩zayıf)/P(zayıf)=0.05/0.10 = 0.5
e) A yöntemiyle tedavi olduğu biliniyorken bu kişinin obez olma olasılığı?
P(obez/A)= P(obez∩A)/P(A)= 0.05/0.35 =0.143
f) P(normal/B)= P(normal∩B)/P(B)= 0.2/0.65 =0.308
g) P(A/zayıf)= P(A∩zayıf)/P(zayıf)= 0.05/0.10 = 0.5
h) P(B/normal)= P(B∩normal)/P(normal) = 0.20/ 0.30 = 0.667
Örnek: 52’lik desteden rastgele bir kart çekiliyor. Bu kartın kırmızı olduğu biliniyor iken As olması ihtimali nedir?
Çözüm: “A: kırmızı olması”, “B:As olması” şeklinde tanımlanıyor, buna göre P(B/A) olasılığı soruluyor.
Şekil. 11.2. İskambil Destesinde Bulunan Kağıtlar
Toplam 52 kart vardır. 4 gruptan oluşur; sinek ve maça (siyah renkliler), kupa ve karo (kırmızı renkliler) A harfiyle gösterilen kâğıdın özel adı “As” tır. Her gurupta birer tane bulunur, 1 yerine geçer. Her grupta toplam 13 kâğıt vardır. J: Vale (11 demektir), Q : Kız (12 demektir), K: Papaz (13 demektir). Yukarıdaki şekilde yukarıdan aşağı doğru gruplar karo, sinek, kupa ve maçadır.
Örneğimize dönersek; P(A)=26/52
P(B) = 4/52
P(A∩B)= 2/52
O halde P(B/A)= 
= 2/26’dır.
Uyarı!!! Burada A ile B’nin kesişimini niçin 2/26 değil de 2/52 aldık? Çünkü B olayı As olması şeklinde tanımlanmıştır. Dolayısıyla sadece kırmızı asların bulunduğu grubu esas alamayız, sinek ve maça asları da as olduğuna göre destenin tümünü esas almalıyız.
Örnek: P(Karo/sekiz)=?
Çözüm: (1/52)/(4/52)=0,25
Örnek: maça veya papaz?
Çözüm: P(maça U papaz)=P(maça)+P(papaz)-(maça∩papaz) = (13/52)+(4/52)-(1/52)
Örnek: P(karo/ papaz)=1/4
11.4. Kesikli Rd’nin Olasılık Fonksiyonu
Kesikli bir rd nin olasılık dağılımına olasılık fonksiyonu denir. X’in alabileceği değerlerin bu değerleri alma olasılıklarıyla birlikte yazılmış haline olasılık fonksiyonu denir. Herhangi bir fonksiyonun kesikli rd için olasılık fonksiyonu olabilmesi için örneklem uzayındaki tüm birimlerin olasılıklarının [0,1] aralığında olması ve tüm olasılıkların toplamının 1’e eşit olması gerekmektedir.
Örnek: Bir olayın aşağıda gösterildiği gibi 4 mümkün sonucu olsun. X rd kesikli olduğuna göre, P(e4)=?
P(e1)=0.3
P(e2)=0.4
P(e3)=0.2
Çözüm: P(e4)=1-(0.3+0.4+0.2)=0.1
Örnek: İki zar atılması deneyinde X rd. Üste gelen yüzlerin çarpımı şeklinde tanımlı olsun. X rd’nin olasılık fonksiyonunu yazınız.
Çözüm: Öncelikle S örneklem uzayını oluşturup X rd nin aldığı değerleri bulacağız. Sonra bu değerleri alması olasılıklarını bularak, iki sütun haline, solda x değerleri sağda ise P(x)’ler olmak üzere X rd’nin olasılık fonksiyonunu yazacağız.
X ‘in olasılık fonksiyonu bu şekildedir, solda x değerleri, sağda da bu değerleri hangi olasılıklarla almakta olduğunu yazdığımızda X’in olasılık fonksiyonunu yazmış oluruz. Ancak burada bir sağlama yapalım, olasılık fonksiyonu olma şartlarından biri, her bir olasılığın [0,1] arasında olmasıydı, baktığımızda bu koşulun sağlandığını görüyoruz. Peki 
mi? Evet, toplam olasılık 1’e eşittir, o halde yaptığımız işlem doğrudur.
11.5. Dağılım Fonksiyonu:
X rd’nin dağılım fonksiyonu F(X) ile gösterilir. X rd nin x’e eşit veya daha küçük olması olasılığıdır. Bu birikimli olasılığa dağılım fonksiyonu denir.
F(X)= P(X≤x) = 
Örnek: Hilesiz bir zar atılsın. X rd üste gelen sayılar olsun. F(X)’i yazınız.
Çözüm:
Dağılım fonksiyonu, olasılık fonksiyonunun birikimli halidir, o nedenle öncelikle f(x)’i oluşturmalıyız.
S={1,2,3,4,5,}
Şekil. 11.3. Olasılık Fonksiyonunun Grafiği
Şekil.11.4. Dağılım Fonksiyonunun Grafiği
Örnek:
a. c=?
b. P(X>0)=?
c. P(X=-2)=?
d. FX)=?
Çözüm:
a. f(xi)=P(X=xi) ve toplam f(xi)=1 olmak zorundadır, o halde c= 1-(0.2+0.1+0.4) = 0.3’tür.
b. P(X>0)= P(2)+P(3) = 0.4 + 0.3 =0.7
c. P(X=-2) = 0
d.
Comments